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Unendlichkeitslehre: Todesstrafe für Denker

Der griechische Mathematiker Hippasos von Metapont wird zu jenen Gelehrten der Weltgeschichte gezählt, die für ihre Studien über die Unendlichkeit mit dem Leben büßten

Hippasos, der um 450 v.Chr. lehrte, war ein Mitglied des Wissensbundes der so genannten "Pythagoräer", einer Gruppe, die nach so allumfassenden und unumstößlichen Gesetzen suchte, dass sich selbst die für ihre Launen bekannten Götter der Antike ihnen beugen müssten.

Solche Gesetze hatte Pythagoras, der Gründer dieser "naturphilosophischen" Denkrichtung, bereits rund 120 Jahre zuvor in der Geometrie ausgemacht - die Formeln für Längenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken etwa gelten zeitlos für jegliche Figur dieser Art. Und wie Pythagoras glaubte Hippasos fest, die Struktur der Welt gründe sich auf Zahlen und deren Verhältnisse. Hatte sich nicht auch erwiesen, dass man die Intervalle Oktave und Quinte in der Musik gewinnt, wenn man zum Beispiel die Saiten einer Leier im Verhältnis von 2 zu 1 und 3 zu 2 teilt? War nicht der Inbegriff architektonischer Schönheit in einer Relation zu erkennen, die heute als "Goldener Schnitt" bekannt ist und sich im Verhältnis zwischen Diagonalen- und Seitenlänge eines Pentagramms manifestiert?

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Das Pentagramm - ein fünfzackiger Stern, der in einem gleichseitigen Fünfeck eingeschlossen ist - war seit jeher das Erkennungszeichen des pythagoräischen Bundes und stand ursprünglich für die Suche nach der universalen Wahrheit. Dass es heute meist als Zeichen des Satans angesehen wird - in Goethes "Faust" schleicht sich Mephisto durch eine von einer Ratte gefressene Lücke in dieses Symbol aus Fausts Studierzimmer -, mag auch mit dem düsteren Schicksal von Hippasos zusammenhängen:

Jener hatte sich gefragt, ob es möglich sei, das Verhältnis von Diagonale zur Seitenlänge des Pentagramms mit Zahlen exakt zu bestimmen. Nun bilden allerdings die Schenkel des Sterns im Innern ein neues, kleineres Fünfeck, in das sich wieder ein Pentagramm-Stern zeichnen lässt - und so fort. In der Geometrie werden solche unendlich wiederkehrenden Muster als "Fraktale" bezeichnet. In einem Pentagramm besteht zugleich eine feste, berechenbare Beziehung zwischen den Strecken in der größeren Figur und jenen der kleineren. Wären Seite und Diagonale des kleinen Pentagramms zum Beispiel angenähert 34 und 55 Millimeter lang, ergäbe sich aus der Summe dieser Werte (34+55) die Seitenlänge des größeren (89); die Diagonalenlänge der größeren Figur - sie betrüge im gegebenen Falle 144 Millimeter - errechnete sich ihrerseits aus der Summe von 55 und 89.

Das Problem, das Hippasos hierin erkannte, war folgendes: Die Verhältnisse von beispielsweise 144:89 und 55:34 sind sich im Zahlenwert zwar durchaus ähnlich (jeweils ungefähr 1,618), sie sind aber nie identisch - obwohl natürlich in jedem Pentagramm

dieselben Beziehungen gelten sollten. Im gegebenen Falle sind es sogar unendlich viele verschiedene Beziehungen, da sich das Pentagramm-im-Pentagramm-Spiel endlos fortsetzen lässt.

Hippasos folgerte daraus, dass ein für alle Pentagramme gültiges, exakt berechenbares Zahlenverhältnis nie gefunden werden kann - der Hoffnung auf eine präzise Erfassung der Welt in Zahlenverhältnissen war hiermit der Boden entzogen. Seine Kollegen fanden diese Behauptung so ungeheuerlich, dass sie den Ketzer der Legende nach öffentlich im Meer ertränkt haben sollen. Die heutigen Mathematiker haben sich zwar mit Hippasos versöhnt-das gesuchte Verhältnis im Pentagramm entspricht der "irrationalen" Goldenen Zahl 1,618..., die, obwohl unendlich lang, im Prinzip beliebig genau berechenbar ist.

Dennoch steht das Beispiel modellhaft für eine Auseinandersetzung, die sich bis in die jüngste Zeit immer wieder in ähnlicher Form wiederholt hat.

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Douglas Hofstadter: Gödel, Escher, Bach. Ein endlos geflochtenes Band; Klett-Cotta, 1985 Hofstadters Werk ist längst ein Klassiker unter den Büchern über das Paradoxe - einschließlich der Frage nach den Grenzen des Begrenzten. Es erzählt, wie große Persönlichkeiten aus Mathematik (Kurt Gödel), Kunst (M.C. Escher), Musik (J.S.Bach) es geschafft haben, festgeschriebene Systeme zu hinterfragen oder zu überwinden. Eingebunden sind diese Geschichten in Denkspiel-Variationen, die von den Paradoxien des griechischen Philosophen Zenon von Elea bis zu den modernen Computertheorien eines Alan Turing reichen.

Fred Adams, Greg Laughlin: Die fünf Zeitalter des Universums. Eine Physik der Ewigkeit; Deutsche Verlags-Anstalt, 2000

Vom Beginn des Universums haben Kosmologen mittlerweile eine detaillierte Vorstellung. Aber wie sieht seine Zukunft, sein Ende aus? Die Physiker Fred Adams und Greg Laughlin wagen eine Prognose. Basierend auf den derzeit bekannten physikalischen Naturgesetzen schreiben sie die Geschichte der Galaxien und Sterne fort. Eine spannende Reise in die Tiefe der Zeit, bei der die Autoren dem Leser nebenbei Wissenswertes über Geburt und Tod der Sterne, das Verschwinden Schwarzer Löcher und die Geometrie des Raums nahebringen. Der Schluß des Weltendramas ist freilich trostlos: eisig kalt und unvorstellbar finster.