#1  
Alt 13.01.2011, 20:43
trantuete123 trantuete123 ist offline
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zu GEO Wissen 2010 Entscheidungen / Intuition

Hallo,

Als ich neulich beim Arzt sass und o.g. Ausgabe quasi verschlungen habe fiel mir bei einem Test über Entscheidungen etwas auf was nich ganz richtig ist. Es ging um folgendes Problem:

Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow und hätten die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem der Tore ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Sie wählen ein Tor, sagen wir, Tor Nummer 1, und der Showmaster, der weiß, was hinter den Toren ist, öffnet ein anderes Tor, sagen wir, Nummer 3, hinter dem eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: 'Möchten Sie das Tor Nummer Zwei?' Ist es von Vorteil, die Wahl des Tores zu ändern?

Hier kam der Verfasser des Artikels zu dem Schluss das ein Wechsel von Vorteil ist weil die Warscheinlichkeit sich auf 2/3 erhöht.

Ich denke das er sich da irrt. Zwar wird sie erhöht aber nur auf max. 50%. Das liegt daran das er bereits ein Tor kennt, welches er natürlich nicht mehr nehmen wird,und daher nur noch zwei zur Auswahl hat. Also 50/50.

Oder lieg ich da jetzt falsch?

gruss Toni

Geändert von trantuete123 (14.01.2011 um 09:22 Uhr)
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  #2  
Alt 14.01.2011, 15:24
Armin1 Armin1 ist offline
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Zitat:
Zitat von trantuete123 Beitrag anzeigen
Hallo,

Als ich neulich beim Arzt sass und o.g. Ausgabe quasi verschlungen habe fiel mir bei einem Test über Entscheidungen etwas auf was nich ganz richtig ist. Es ging um folgendes Problem:

Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow und hätten die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem der Tore ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Sie wählen ein Tor, sagen wir, Tor Nummer 1, und der Showmaster, der weiß, was hinter den Toren ist, öffnet ein anderes Tor, sagen wir, Nummer 3, hinter dem eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: 'Möchten Sie das Tor Nummer Zwei?' Ist es von Vorteil, die Wahl des Tores zu ändern?

Hier kam der Verfasser des Artikels zu dem Schluss das ein Wechsel von Vorteil ist weil die Warscheinlichkeit sich auf 2/3 erhöht.

Ich denke das er sich da irrt. Zwar wird sie erhöht aber nur auf max. 50%. Das liegt daran das er bereits ein Tor kennt, welches er natürlich nicht mehr nehmen wird,und daher nur noch zwei zur Auswahl hat. Also 50/50.

Oder lieg ich da jetzt falsch?

gruss Toni
Unter der Maßgabe, dass der Showmaster nicht das Tor mit dem Auto öffnet sieht die Rechnung wie folgt aus: Man benötigt dazu das Bayes' Theorem, das man sich aber leicht mit einem Venn-Diagramm klarmachen kann.
Wahrscheinlichkeiten:
P(Tor 1 Auto) = 1/3,
P(Tor 2 Auto) = 1/3,
P(Tor 3 Auto) = 1/3

Jetzt gibt es das Ereignis: "Showmaster zeigt auf Tor 3 also kein Auto". Der Punkt ist nun du unterstellst eine Sysmmetrie der Ereignisse: Wenn der Showmaster auf Tor 3 zeigt ist es kein Auto, was aber nicht heißt, dass wenn Tor 3 kein Auto enthält der Showmaster notwendigerweise auf dieses zeigt. D.h. die Wahrscheinlichkeit "Showmaster zeigt auf Tor 3 also kein Auto" ist KLEINER als die Wahrscheinlichkeit von "Tor 3 enthält kein Auto"!
Es gilt nun folgende bedingte Wahrscheinlichkeiten auszurechnen:

P( Tor 1 Auto / "Showmaster zeigt auf Tor 3 also kein Auto")
und
P( Tor 2 Auto / "Showmaster zeigt auf Tor 3 also kein Auto")

Die beiden Wahrscheinlichkeiten sind nicht gleich!!!
Die erstere ist 1/3 die zweite 2/3, damit ist ein Wchsel des Tores tatsächlich günstig. Wenn's dic interessiert kann ich noch die Detailrechnung liefern.
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  #3  
Alt 14.01.2011, 22:47
Benutzerbild von VonEinem
VonEinem VonEinem ist offline
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Soweit ich es verstanden habe, hat der Showmaster doch schon ein Tor mit der Ziege geöffnet ... da steht doch nicht "er zeigt", sondern "er Öffnet ein Tor hinter dem die Ziege steht".
Dann wäre die Chance 50/50. Aber nur bei geöffnetem Tor ...
__________________
Erfahrung ist etwas, das man nicht hat, bis kurz nachdem man es gebraucht hätte. (Unbekannter Verfasser)
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  #4  
Alt 14.01.2011, 22:55
Armin1 Armin1 ist offline
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Zitat:
Zitat von VonEinem Beitrag anzeigen
Soweit ich es verstanden habe, hat der Showmaster doch schon ein Tor mit der Ziege geöffnet ... da steht doch nicht "er zeigt", sondern "er Öffnet ein Tor hinter dem die Ziege steht".
Dann wäre die Chance 50/50. Aber nur bei geöffnetem Tor ...
Das macht keinen Unterschied, die Annahme ist, dass der Showmaster immer auf das Tor ohne Auto zeigt, dann sind die Wahrscheinlichkeiten tatsaechlich so wie im Artikel bzw. von mir beschrieben. Ich kann es morgen mal vorrechnen.
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  #5  
Alt 15.01.2011, 16:36
Armin1 Armin1 ist offline
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Zitat:
Zitat von Armin1 Beitrag anzeigen
Das macht keinen Unterschied, die Annahme ist, dass der Showmaster immer auf das Tor ohne Auto zeigt, dann sind die Wahrscheinlichkeiten tatsaechlich so wie im Artikel bzw. von mir beschrieben. Ich kann es morgen mal vorrechnen.
Zitat:
Zitat von Armin1 Beitrag anzeigen
Das macht keinen Unterschied, die Annahme ist, dass der Showmaster immer auf das Tor ohne Auto zeigt, dann sind die Wahrscheinlichkeiten tatsaechlich so wie im Artikel bzw. von mir beschrieben. Ich kann es morgen mal vorrechnen.
Also erst mal ein paar Abkürzungen für folgende Ereignise:
T1A = Tor 1 Auto
T2A = Tor 2 Auto
T3A = Tor 3 Auto

M -> T3 = Moderator öffnet Tor 3, was bedeutet hinter Tor 2 ist kein Auto. (Wenn der Moderator ein Tor mit Autö öffnet ist die Sache sowieso gegessen.)

Erst mal folgende Zerlegung des Ereignisses {M->T3}:
{M->T3} = {M->T3}*{T1A} + {M->T3}* {T2A}+ {M->T3}*{T3A}
(+ und * sind hier als Vereinigungs bze. Schnittmenge gemeint).

Damit läßt sich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses {M->T3} berechenen (Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit, "/" zeigt die bedingte Wahrscheinlichkeit an)
p({M->T3}} = p({M->T3}/{T1A})*p({T1A}) + p({M->T3}/{T2A})*p({T2A}) + p({M->T3}/{T3A})*p({T3A}) =
1/2 * 1/3 + 1 * 1/3 + 0 * 1/3 = 1/2

Die Frage ist nun, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass hinter Tor 2 das Auto ist, wenn er Tor 3 öffnet:
p({T2A}/{M->T3}) = p({T2A} * {M->T3}) / p({M->T3}) =
p({M->T3}/{T2A})*p({T2A})/ p({M->T3}) =
(1 * 1/3)/(1/2) = 2/3

Innerhalb der unden Klammenr ist "*" einfach die Schnittmenge, außerhalb werten einfach Wahrscheinlichkeiten mit "*" multipliziert.
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  #6  
Alt 15.01.2011, 16:52
MarkusSch MarkusSch ist offline
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Ob das was Armin da schreibt richtig oder falsch ist dazu kann ich nicht sagen weil ich mich in Mathematik nicht auskenne.

Man kann es vielleicht für sich auch ohne soviel Theorie herleiten.

Also der Kandidat hat mit 1/3 Wahrscheinlichkeit Tor 1 gewählt. 2/3 war die Wahrscheinlichkeit das er falsch liegt. Das heisst das der Gewinn mit 2/3 Wahrscheinlichkeit hinter Tor2 oder Tor 3 ist.


Nun öffnet der Moderator Tor 3 wo kein Gewinn ist. Wenn der Kandidat jetzt Tor 2 nimmt hat er mit 2/3 Wahrscheinlichkeit den Gewinn da dieser doch mit 2/3 Wahrscheinlichkeit hinter Tor 2 oder 3 ist.
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  #7  
Alt 15.01.2011, 17:21
Armin1 Armin1 ist offline
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Zitat:
Zitat von MarkusSch Beitrag anzeigen
Nun öffnet der Moderator Tor 3 wo kein Gewinn ist. Wenn der Kandidat jetzt Tor 2 nimmt hat er mit 2/3 Wahrscheinlichkeit den Gewinn da dieser doch mit 2/3 Wahrscheinlichkeit hinter Tor 2 oder 3 ist.
Das ist auch richtig!
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  #8  
Alt 15.01.2011, 20:42
trantuete123 trantuete123 ist offline
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[QUOTE=Armin1;90051]
Jetzt gibt es das Ereignis: "Showmaster zeigt auf Tor 3 also kein Auto"............................QUOTE]


Nein, das Ereignis lautet: Showmaster öffnet Tor 3

Und da steht definitiv kein Auto.

Also kann er doch nur zwischen 2 Möglichkeiten wählen. Also 50/50. Es stehen bei einer Neuentscheidung 2 Tore zur Wahl und nicht drei.

Vorherige oder Nachfolgende Ereignisse sind völlig irrelevant. Es ist somit nicht mitentscheidend welche Wahrscheinlichkeiten vor der Toröffnung oder Irreführung da waren.


Im Endeffekt siehts doch so aus: Er steht einfach vor 2 Toren und sonst nix. In einem steht ein Auto, in dem anderen nicht.


Sorry, bin kein Mathematiker und will niemanden was. Aber irgendwas stellt sich quer in mir;-)
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  #9  
Alt 15.01.2011, 23:37
MarkusSch MarkusSch ist offline
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Sehe die Ausgangssituation.

Als Verdeutlichung:

Es wären 100 Tore.

Du nimmst Tor 64.

Der Moderator öffnet alle anderen Tore bis auf Tor 42.

Es gibt nun die Wahl zwischen deiner ursprünglichen Wahl Tor 64 und Tor 42.


Du schriebst:
Zitat:
Zitat von trantuete123 Beitrag anzeigen
Also kann er doch nur zwischen 2 Möglichkeiten wählen. Also 50/50. Es stehen bei einer Neuentscheidung 2 Tore zur Wahl und nicht drei.

Vorherige oder Nachfolgende Ereignisse sind völlig irrelevant. Es ist somit nicht mitentscheidend welche Wahrscheinlichkeiten vor der Toröffnung oder Irreführung da waren.

Im Endeffekt siehts doch so aus: Er steht einfach vor 2 Toren und sonst nix. In einem steht ein Auto, in dem anderen nicht.
Vorhergehende Ereignis sind meiner Meinung nach nicht irrelevant.
Im oben genannten Beispiel mit den 100 Toren liegst du mit Tor 64 mit 1% Wahrscheinlichkeit richtig und mit 99% Wahrscheinlichkeit falsch. Wenn der Moderator 98 Tore geöffnet hat so stehen 2 Tore zur Wahl. Für welches würdest du dich nun entscheiden?

Geändert von MarkusSch (16.01.2011 um 19:08 Uhr)
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  #10  
Alt 16.01.2011, 08:58
Armin1 Armin1 ist offline
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Zitat:
Zitat von Armin1 Beitrag anzeigen
Jetzt gibt es das Ereignis: "Showmaster zeigt auf Tor 3 also kein Auto"............................QUOTE]


Nein, das Ereignis lautet: Showmaster öffnet Tor 3

Und da steht definitiv kein Auto.
Meine Rede!

Zitat:
Also kann er doch nur zwischen 2 Möglichkeiten wählen. Also 50/50. Es stehen bei einer Neuentscheidung 2 Tore zur Wahl und nicht drei.
Du nimmst implizit an, dass die 2 Möglichkeiten gleichwahrscheinlich sind müssen, tun sie aber nicht in diesem Fall. Stell dir einfach eine gezinkte Münze vor, da hast du ebenfalls 2 Möglichkeiten, aber Kopf kommt in 60% der Fälle und Zahl in 40%.´

Man könnte nun folgendes machen: Nachdem der Moderator das Tor geöffnet hat, wo kein Auto dahinter steht, benennt man die Tore neu, und zwar das des Kandiaten A und das andere B. Nun bittest du eine ander Person, die von nichts weiß, ein Tor zwichen A und B auszuwählen und das 1000 Mal hintereinander. Irgendwann würde diesem auffallen, dass B ja viel häufiger vorkommt als A, d.h. die beiden Tore nicht diegleiche Wahrscheinlichkeit haben.
Dass die Wahrscheinlichkeit von dem Auswahlverfahren abhängt kann man dann am folgenden Extremfall deutlich machen: Der Moderator wählt immer die beiden Tore ohne Auto aus und macht die Buchstaben A und B dran. Die zweite Person würde nun wieder 1000 Mal das Experiment durchführen und dieser würde natürlich nie einen Treffer landen.
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